Progressão Geométrica

Conceito:

Progressão Geométrica é a sequência de números não nulos, onde qualquer termo (a partir do segundo), é igual ao antecedente mutiplicado por uma constante. Essa constante é denominada razão da progressão, sendo indicada por q.

Exemplos simples

(3, 9,27, 81, ...) → é uma P.G. Crescente de razão q = 3

(90, 30, 10, ...) → é uma P.G. Decrescente de razão q = 1/3

(-7, 14, -28, 56, ...) → é uma P.G. Oscilante de razão q = - 2

(3, 3, 3, 3, ...) → é uma P.G. Constante de razão q = 1

A razão de uma P.G. pode ser calculada pela igualdade abaixo:

Lembrando que, segundo a noção de P.A. :

Classificação:

Quando q > 0, a P.G. é crescente. Por exemplo:

(3, 6, 12, 24, 48, ...)

Concluindo que toda P.G. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior.
Assim, temos: a_n > a_{n - 1}

Quando a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1, a P.G. é decrescente. Por exemplo:

(48, 24, 12, 6, 3, ...)

Concluindo que toda P.G. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior.
Assim, temos: a_n < a_{n - 1}

Quando q < 0, a P.G. é Alternante ou Oscilante. Por exemplo:

(- 5, 10, - 20, 40, - 80, ...)

Concluindo que toda P.G. Alternate ou Oscilante, partindo de qualquer termo, há uma alternância sucessiva entre termo negativo e positivo.

Termo Geral da P.G.

Como em uma P.A. pode se achar todos os seus termos a partir de um qualquer termo e da razão, em uma P.G., isso também é possível, sendo a fórmula denominada termo geral da P.G.. Veja:

a₂ / a₁ = q → a₂ = a₁ . q

a₃ / a₂ = q → a₃ = a₂ . q → a₃ = a₁ . q . q → a₃ = a₁ . q²

a₄ / a₃ = q → a₄ = a₃ . q → a₄ = a₁ . q² . q → a₄ = a₁ . q^{3
( e assim por diante)}

Assim, concluímos que a_n = a₁ . q^{n - 1} é a fórmula que rege a demonstração acima, lembrendo que, se não tivessemos o primeiro termo da P.G., mas tivessemos outro como o terceiro, usariámos a sequinte fórmula:

a_n = a_k . q^{n - k}

Por exemplo:

Dada a P.G. ( x, y, 12, 24, 48, ...) determine o seu oitavo termo:

Primeiramente achamos a razão:

Agora resolvemos apartir do terceiro termo:

Até o dia 16/11/02 estará no ar o restante de P.G.

Exercícios Resolvidos