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Progressão Geométrica

Conceito:

Progressão Geométrica é a sequência de números não nulos, onde qualquer termo (a partir do segundo), é igual ao antecedente mutiplicado por uma constante. Essa constante é denominada razão da progressão, sendo indicada por q.

Exemplos simples

(3, 9,27, 81, ...) é uma P.G. Crescente de razão q = 3

(90, 30, 10, ...) é uma P.G. Decrescente de razão q = 1/3

(-7, 14, -28, 56, ...) é uma P.G. Oscilante de razão q = - 2

(3, 3, 3, 3, ...) é uma P.G. Constante de razão q = 1

 

A razão de uma P.G. pode ser calculada pela igualdade abaixo:

q = an / an - 1

 

ou seja

 

q = a2 / a1 = a3 / a2 = a4 / a3 = an / an-1

Lembrando que, segundo a noção de P.A. :

an = a1 . qn - 1

 

ou seja

 

a3 = a2 + q3 - 1

Classificação:

Quando q > 0, a P.G. é crescente. Por exemplo:

(3, 6, 12, 24, 48, ...)

q = a2 / a1 onde a1 = 3
q = 6 / 3 a2 = 6 (a2 = a1 . q a2 = 3 . 2 a2 = 6)
q = 2 a3 = 9 (a3 = a1 . q2 a3 = 3 . 22 a3 = 3 . 4 a3 = 12)

Concluindo que toda P.G. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior.
Assim, temos: an > an - 1

Quando a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1, a P.G. é decrescente. Por exemplo:

(48, 24, 12, 6, 3, ...)

q = a2 / a1 onde a1 = 48
q = 24 / 48 a2 = 24 (a2 = a1 . q a2 = 48 . 1/2 a2 = 24)
q = 1 / 2 a3 = 12 (a3 = a1 . q2 a3 = 48 . (1/2)2 a3 = 48 . 1/4 a3 = 12)

Concluindo que toda P.G. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior.
Assim, temos: an < an - 1

Quando q < 0, a P.G. é Alternante ou Oscilante. Por exemplo:

(- 5, 10, - 20, 40, - 80, ...)

q = a2 / a1 onde a1 = - 5
q = 10 / -5 a2 = 10 (a2 = a1 . q a2 = - 5 . - 2 a2 = 10)
q = - 2 a3 = - 20 (a3 = a1 . q2 a3 = - 5 . (-2)2 a3 = -5 . 4 a3 = - 20)

Concluindo que toda P.G. Alternate ou Oscilante, partindo de qualquer termo, há uma alternância sucessiva entre termo negativo e positivo.

Quadro Geral
P.G. Crescente a1> 0 ou a1 < 0 e 0 < q < 1
P.G. Decrescente a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1
P.G. Constante q = 1
P.G. Alternante ou Oscilante q < 0

 

Termo Geral da P.G.

Como em uma P.A. pode se achar todos os seus termos a partir de um qualquer termo e da razão, em uma P.G., isso também é possível, sendo a fórmula denominada termo geral da P.G.. Veja:

a2 / a1 = q a2 = a1 . q

a3 / a2 = q a3 = a2 . q a3 = a1 . q . q a3 = a1 . q2

a4 / a3 = q a4 = a3 . q a4 = a1 . q2 . q a4 = a1 . q3
( e assim por diante)

Assim, concluímos que an = a1 . qn - 1 é a fórmula que rege a demonstração acima, lembrendo que, se não tivessemos o primeiro termo da P.G., mas tivessemos outro como o terceiro, usariámos a sequinte fórmula:

an = ak . qn - k

Por exemplo:

Dada a P.G. ( x, y, 12, 24, 48, ...) determine o seu oitavo termo:

Primeiramente achamos a razão:

q = an / an - 1 q = a4 / a3 q = 24 / 12 q = 2

Agora resolvemos apartir do terceiro termo:

an = ak . qn - k
a8 = a3 . q8 - 3
a8 = 12 . 25
a8 = 12 . 32
a8 = 384

an é o último termo especificamente pedido
ak é o primeiro termo escolhido
k é a posição do termo ak
n é a posição do termo an


Até o dia 16/11/02 estará no ar o restante de P.G.

Exercícios Resolvidos