Progressão Aritmética

Conceito:

Progressão Aritmética é toda sucessão de números onde qualquer termo, a partir do segundo, seu posterior é acrescentado um valor constante. Esse valor constante é indicado por r, e é denominado razão da progressão aritmética.

Exemplos simples

(3, 6, 9 , 12, ...) → é uma P.A. de razão r = 3

(25, 20, 15, 10, ...) → é uma P.A. de razão r = - 5

(7, 7, 7, 7, ...) → é uma P.A. de razão r = 0

A razão de uma P.A. pode ser calculada pela igualdade abaixo:

Lembrando que, segundo a noção de P.A. :

Classificação:

Quando r > 0, a P.A. é crescente. Por exemplo:

(3, 6, 9, 12, 15, ...)

Concluindo que toda P.A. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior. Assim, temos: a_n > a_{n - 1}

Quando r < 0, a P.A. é decrescente. Por exemplo:

(15, 12, 9, 6, 3, ...)

Concluindo que toda P.A. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior. Assim, temos: a_n < a_{n - 1}

Quando r = 0, a P.A. é constante ou estacionária. Por exemplo:

(6, 6, 6, 6, ...)

Concluindo que toda P.A. constante ou estacionária, tem seus temos iguais entre si.
Assim: ... = (a_{n - 2}) = (a_{n - 1}) = (a_n) = (a_{n +1}) = (a_{n + 2}) = ...

Média Aritmética

Em toda P.A., qualquer termo é média aritmética entre seu anterior e seu posterior. Por exemplo:

(5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...)

Raciocine um pouco ...

Se (a, b, c) estão em P.A., então b = (a + c) / 2 ou 2b = (a + c) / 2 ou 2 = (a + c) / 2

É bom observar ...

Em toda P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Por exemplo:

(5, 10, 15, 20, 25, 30)

Qualquer termo de uma P.A. finita, com exceção dos extremos, é média aritmética entre o anterior e o posterior. Por exemplo:

(1, 5, 9, 13, 17, 21, 24)

Termo Geral da P.A.

Muitas vezes, encontramos P.A. com apenas os primeiros termos, e a partir deles, podemos encontra a razão. Seria ainda melhor, se encontrássemos a partir da razão e do primeiro termo, toda a sequência. Compreenda porque:

r = a₂ - a₁

a₂ = a₁ + r
a₃ = a₂ + r → a₃ = (a₁ + r) + r → a₃ = a₁ + 2r
a₄ = a₃ + r → a₄ = (a₁ + 2r) + r → a₄ = a₁ + 3r
( e assim por diante)

Assim, concluímos que a_n = a₁ + (n - 1) . r é a fórmula que rege a demonstração acima, e é denominada como fómula do termo geral da P.A.

Observe que a₁₀ = a₅ + 5r, pois ao passar de a₄ para a₉, avançamos cinco termos. Assim, compreenda:

a_n = a_k + (n - k) . r
a₇ = a₃ + (7 - 3) . r
a₇ = a₃ + 4r

Pois ao passar de a₃ para a₇, avançamos 4 termos.

Soma dos termos de uma P.A. finita

Para calcular a soma dos termos de uma P.A. finita, usaremos a fórmula abaixo.

Por exemplo:

Dê a soma dos sete primeiros termos da P.A. (x, 7, 11, ...)

Interpolação Aritmética

É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma P.A.. A fórmula utilizada é an = ak + (n + k) . r

Por exemplo:

Insira 5 meios aritméticos entre 5 e 17.

Para interpolarmos esses termos a partir do primeiro ou do último, necessitamos da razão. Então:

Exercícios Resolvidos