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Progressão Aritmética

Conceito:

Progressão Aritmética é toda sucessão de números onde qualquer termo, a partir do segundo, seu posterior é acrescentado um valor constante. Esse valor constante é indicado por r, e é denominado razão da progressão aritmética.

Exemplos simples

(3, 6, 9 , 12, ...) é uma P.A. de razão r = 3

(25, 20, 15, 10, ...) é uma P.A. de razão r = - 5

(7, 7, 7, 7, ...) é uma P.A. de razão r = 0

A razão de uma P.A. pode ser calculada pela igualdade abaixo:

r = an - an - 1

 

ou seja

 

r = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = an - an-1

Lembrando que, segundo a noção de P.A. :

an = an - 1 + r

 

ou seja

 

a2 = a1 + r

Classificação:

Quando r > 0, a P.A. é crescente. Por exemplo:

(3, 6, 9, 12, 15, ...)

r = a2 - a1 onde a1 = 3
r = 6 - 3 a2 = 6 (a2 = a1 + r a2 = 3 + 3 a2 = 6)
r = 3 a3 = 9 (a3 = a1 + 2r a3 = 3 + 2(3) a3 = 3 + 6 a3 = 9)

Concluindo que toda P.A. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior. Assim, temos: an > an - 1

Quando r < 0, a P.A. é decrescente. Por exemplo:

(15, 12, 9, 6, 3, ...)

r = a2 - a1 onde a1 = 15
r = 12 - 15 a2 = 12 (a2 = a1 + r a2 = 15 - 3 a2 = 12)
r = - 3 a3 = 9 (a3 = a1 + 2r a3 = 15 + 2(- 3) a3 = 15 - 6 a3 = 9)

Concluindo que toda P.A. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior. Assim, temos: an < an - 1

Quando r = 0, a P.A. é constante ou estacionária. Por exemplo:

(6, 6, 6, 6, ...)

r = a2 - a1 onde a1 = 6
r = 6 - 6 a2 = 6 (a2 = a1 + r a2 = 6 + 0 a2 = 6)
r = 0 a3 = 6 (a3 = a1 + 2r a3 = 6 + 2(0) a3 = 6 + 0 a3 = 6)

Concluindo que toda P.A. constante ou estacionária, tem seus temos iguais entre si.
Assim: ... = (an - 2) = (an - 1) = (an) = (an +1) = (an + 2) = ...

Quadro Geral
P.A. crescente r > 0
P.A. decrescente r < 0
P.A. constante r = 0

 

 

Média Aritmética

Em toda P.A., qualquer termo é média aritmética entre seu anterior e seu posterior. Por exemplo:

(5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...)

a3 = (a2 + a4) / 2 a3 = (8 + 14) / 2 a3 = 22 / 2 a3 = 11

 

ou

 

a5 = (a4 + a6) / 2 a5 = (14 + 20) / 2 a5 = 34 / 2 a5 = 17

 

assim

 

an = [(an - 1) + (an + 1)] / 2

Raciocine um pouco ...

Se (a, b, c) estão em P.A., então b = (a + c) / 2 ou 2b = (a + c) / 2 ou 2 = (a + c) / 2

É bom observar ...

Em toda P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Por exemplo:

(5, 10, 15, 20, 25, 30)

a1 + a6 = 5 + 30 = 35 ou seja (a, b, c, d, e, f)
a2 + a5 = 10 + 25 = 35 a + f = b + e = c + d
a3 + a4 = 12 + 20 = 35

Qualquer termo de uma P.A. finita, com exceção dos extremos, é média aritmética entre o anterior e o posterior. Por exemplo:

(1, 5, 9, 13, 17, 21, 24)

a4 = (a2 + a6) / 2
a4 = (5 + 21) / 2
a4 = 26 / 2
a4 = 13

a4 = (a3 + a5) / 2
a4 = (9 + 17) / 2
a4 = 26 / 2
a4 = 13

 

Termo Geral da P.A.

Muitas vezes, encontramos P.A. com apenas os primeiros termos, e a partir deles, podemos encontra a razão. Seria ainda melhor, se encontrássemos a partir da razão e do primeiro termo, toda a sequência. Compreenda porque:

r = a2 - a1

a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a3 = (a1 + r) + r a3 = a1 + 2r
a4 = a3 + r
a4 = (a1 + 2r) + r a4 = a1 + 3r
( e assim por diante)

Assim, concluímos que an = a1 + (n - 1) . r é a fórmula que rege a demonstração acima, e é denominada como fómula do termo geral da P.A.

Observe que a10 = a5 + 5r, pois ao passar de a4 para a9, avançamos cinco termos. Assim, compreenda:

an = ak + (n - k) . r
a7 = a3 + (7 - 3) . r
a7 = a3 + 4r

Pois ao passar de a3 para a7, avançamos 4 termos.

Soma dos termos de uma P.A. finita

Para calcular a soma dos termos de uma P.A. finita, usaremos a fórmula abaixo.

Sn = [(ak + an) . n] / 2

Sn é o valor da soma dos termos da sequência
ak é o primeiro termo escolhido da sequência
an é o último termo escolhido da sequência
n é a posição do último termo escolhido da sequência

Por exemplo:

Dê a soma dos sete primeiros termos da P.A. (x, 7, 11, ...)

r = a3 - a2
r = 11 - 7
r = 4
Ache o primeiro termo:
a7 = a1 + 6r
a7 = 3 + 6(4)
a7 = 27
Sn = [(ak + an) . n] / 2
Sn = [(3 + 27) . 7] / 2
Sn = [30 . 7] / 2
Sn = 210 / 2
Sn = 105

Interpolação Aritmética

É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma P.A.. A fórmula utilizada é an = ak + (n + k) . r

Por exemplo:

Insira 5 meios aritméticos entre 5 e 17.

Para interpolarmos esses termos a partir do primeiro ou do último, necessitamos da razão. Então:

an = ak + (n - k) . r
17 = 5 + (7 - 1) . r
17 = 5 + 6r
6r = 17 - 5
6r = 12
r = 2
assim (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7) ( 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17)

 

 

Exercícios Resolvidos